Modern Physics Seminar(3)

上周因为主讲人出差,鸽了一周。本周听了两个数学科学学院的讲座,分别是由有关现代偏微分方程和微分几何的。


现代偏微分方程,主要介绍了方程的来历,包括显示、计算和理论证明的研究方法。根据解方程结构的不同,又可以分为椭圆方程、抛物方程和双曲方程。


基本的方程有Laplace方程、热传导方程、波动方程、Navier-Stokes方程、爱因斯坦方程、Monge-Ampère方程(超弦)等。

显示解需要方程的形式好,区域好,有良好的对称性。常用的方法有分离变量法,归结为常微分方程。虽然物理学家已经不加证明的试用了这些方程,而理论研究更关注存在性、唯一性、正则性(精度)、紧性等。

  • Dirichlet原理(1840’s)。
  • Hilbert Poincare证明存在解(1900’s)。
  • 在Sobolev空间找解(1930’s)。
  • Weierstrass反例指出,不一定存在经典解(1860’s)。
  • 原因是找解的空间太小了,要扩大空间,在Lebesgue可积函数空间(实变函数)找解,Schwartz 定义了弱导数(1940’s)。

泛函分析则是研究好的函数空间的性质。变分法与有限元有关,推动计算数学的发展。又使用物理上的概念,最小作用原理(能量最小)。这位老师本科也是物理出身,中途去读了数学的研究生,并一直从事数学工作。通过讲座,稍微解了一下现代微分方程的发展历史,具体内容还是不懂。


微分几何简介,中间有一部分很无趣,大多是定义,没有数学基础听的很痛苦,完全听不懂,都是各种概念和符号。不过理论数学还是强调了对存在性和唯一性的关注。

从Euclid几何原本开始讲起,发展到Fermat、Descartes 的解析几何,又到Gauss、Lobachevsky 。

基本的思想是,蚂蚁在纸面上是感受不到纸面弯曲的,就像人在地球上感受不到地面的弯曲。引入测地线的概念。

欧拉示性数是一个拓扑不变量,可以对进行拓扑分类。陈省身对纤维丛有奠基性的贡献,典型的有Möbiusband和Klein bottle。

陈类(Chern classes)和整数量子霍尔效应有关系。Yang–Mills理论是对Maxwell电磁场理论的推广。微分几何和现代理论物理有很强的联系,现代科学的发展也越来越需要多学科交叉融合。


然而我既不懂理论物理也不懂现代数学,这两次讲座真是听的头疼,只怪自己太弱了。

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